在高等数学中，函数极限是一个非常重要的概念。它不仅在理论研究中有广泛应用，而且也是解决实际问题的重要工具之一。当我们面对某些复杂的函数极限时，传统的代数方法可能会显得力不从心，这时我们可以考虑使用泰勒公式来简化计算过程。

泰勒公式是一种将函数展开为无穷级数的方法，它可以用来近似表示一个函数，并且对于许多类型的函数都具有良好的逼近效果。当我们要计算某个特定点上的函数极限时，如果该函数能够通过泰勒公式进行展开，则可以将其转化为对多项式形式的处理，从而大大简化了计算步骤。

假设我们有一个需要求极限的目标函数f(x)，并且我们知道这个函数在某一点a处是可导的。那么根据泰勒定理，我们可以将f(x)在点a附近展开成如下形式：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + R_n(x)

其中R_n(x)代表余项部分，通常随着n增大而趋于零。如果我们只关心极限值而不是精确表达式的话，就可以忽略掉余项部分，仅保留前几项来进行估算。

接下来让我们来看一个具体的例子。设我们需要求lim_{x->0} sin(x)/x 的极限。首先注意到sin(x)在x=0处是可以展开成泰勒级数的，即

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...

因此原式可以写成：

lim_{x->0} (x - x^3/3! + x^5/5! - ...) / x

分子分母同时除以x后得到：

lim_{x->0} [1 - x^2/3! + x^4/5! - ...]

显然当x趋向于0时，所有高次幂项都会消失，只剩下常数项1。所以最终结果就是1。

需要注意的是，在应用泰勒公式求解极限的过程中，选择合适的展开中心点以及确定足够的展开阶数是非常关键的。此外，还需要确保所使用的函数确实满足泰勒公式的收敛条件，否则可能导致错误的结果。

总之，利用泰勒公式求解函数极限是一种有效且直观的方法，尤其适用于那些难以直接求得解析解的情形。通过合理地运用这一技巧，不仅可以提高解决问题的速度和准确性，还能加深我们对函数性质的理解。