初中数学一元二次不等式练习题及答案

在初中数学的学习过程中，一元二次不等式的解法是一个重要的知识点。它不仅需要掌握基本的代数运算能力，还需要灵活运用不等式的性质和技巧来解决问题。为了帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容，下面将提供一些精选的一元二次不等式练习题，并附上详细的解答过程。

练习题

1. 解不等式：\( x^2 - 5x + 6 < 0 \)

2. 解不等式：\( 2x^2 + 3x - 2 > 0 \)

3. 解不等式：\( x^2 - 4x + 4 \geq 0 \)

4. 解不等式：\( -x^2 + 7x - 12 \leq 0 \)

5. 解不等式：\( x^2 + 6x + 9 > 0 \)

答案与解析

题目1：\( x^2 - 5x + 6 < 0 \)

首先，我们需要找到方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的根。通过因式分解，得到：

\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]

因此，根为 \( x = 2 \) 和 \( x = 3 \)。

接下来，我们画出抛物线 \( y = x^2 - 5x + 6 \) 的草图，发现当 \( x \) 在区间 \( (2, 3) \) 内时，函数值小于零。因此，解集为：

\[ 2 < x < 3 \]

题目2：\( 2x^2 + 3x - 2 > 0 \)

同样地，先求方程 \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) 的根。使用求根公式：

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

其中 \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = -2 \)。代入后得到：

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \]

所以，根为 \( x = \frac{1}{2} \) 和 \( x = -2 \)。

根据抛物线的开口方向（向上），当 \( x \) 在区间 \( (-\infty, -2) \cup (\frac{1}{2}, \infty) \) 内时，函数值大于零。因此，解集为：

\[ x < -2 \quad \text{或} \quad x > \frac{1}{2} \]

题目3：\( x^2 - 4x + 4 \geq 0 \)

此方程可以写成完全平方形式：

\[ (x - 2)^2 \geq 0 \]

显然，对于任何实数 \( x \)，平方数总是非负的。因此，解集为：

\[ x \in \mathbb{R} \]

题目4：\( -x^2 + 7x - 12 \leq 0 \)

这里需要注意的是，系数 \( a = -1 \) 表示抛物线开口向下。首先求方程 \( -x^2 + 7x - 12 = 0 \) 的根：

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-12)}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{-2} = \frac{-7 \pm 1}{-2} \]

所以，根为 \( x = 3 \) 和 \( x = 4 \)。

结合抛物线的开口方向，当 \( x \) 在区间 \( [3, 4] \) 内时，函数值小于等于零。因此，解集为：

\[ 3 \leq x \leq 4 \]

题目5：\( x^2 + 6x + 9 > 0 \)

此方程可以写成完全平方形式：

\[ (x + 3)^2 > 0 \]

除了 \( x = -3 \) 外，任何实数 \( x \) 都满足条件。因此，解集为：

\[ x \neq -3 \]

以上就是关于一元二次不等式的练习题及其详细解答。希望这些题目能够帮助同学们巩固相关知识，提高解题能力。如果还有其他问题，欢迎随时提问！