在几何学中，等腰三角形是一种特殊的三角形，其两个边长相等。本题涉及一个等腰三角形的一条腰上的中线，这条中线将整个三角形的周长分割为15和6两部分。我们需要通过分析这些条件来确定三角形的具体尺寸。

首先，设等腰三角形的两条相等的边长为a，底边长为b。根据题意，中线是从顶点到底边中点的连线。这条中线不仅平分了底边，还可能对整个三角形的周长产生影响。

假设中线将周长分为15和6两部分，这意味着其中一部分包含了a+b/2的长度，另一部分则包含剩余的部分。由于等腰三角形的对称性，我们可以合理推测，中线所在的边（即腰）在分割过程中起到了关键作用。

接下来，我们可以通过代数方法建立方程组来求解a和b的具体值。考虑到中线的作用以及等腰三角形的基本性质，可以推导出以下关系式：

\[ 2a + b = 21 \] （因为总周长为15+6=21）

进一步结合中线分割的特点，我们可以列出第二个方程：

\[ a + \frac{b}{2} = 15 \]

通过解这组方程，我们可以找到满足条件的a和b的值。这种类型的题目不仅考察了几何图形的基本属性，还涉及到代数运算的能力，是综合能力的体现。

通过对以上步骤的详细分析与计算，最终能够得出等腰三角形的具体边长，从而解决这个问题。这种方法既符合逻辑推理的要求，又能有效避免过度依赖公式化的方法，有助于培养学生的独立思考能力和问题解决技巧。