在矩阵理论与线性代数中，特征值的几何重数和代数重数是两个重要的概念。它们分别描述了特征值在不同方面的性质，并且两者之间的关系构成了许多数学问题的核心。

一、定义回顾

设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的复数矩阵，\( \lambda \) 是 \( A \) 的一个特征值。其代数重数是指特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \) 中 \( (\lambda - \lambda)^k \) 的指数 \( k \)，即 \( \lambda \) 在特征多项式中的重复次数。

而几何重数则是指对应于特征值 \( \lambda \) 的特征子空间的维数，即所有满足 \( (A - \lambda I)x = 0 \) 的向量 \( x \) 构成的空间的维数。

二、定理陈述

我们需要证明：对于任意矩阵 \( A \)，其特征值 \( \lambda \) 的几何重数总是小于或等于代数重数。

三、证明过程

1. 特征子空间的定义

设 \( V_\lambda = \{ x \in \mathbb{C}^n \mid (A - \lambda I)x = 0 \} \)，则 \( V_\lambda \) 是一个线性子空间，称为特征值 \( \lambda \) 对应的特征子空间。其维数记为 \( \dim(V_\lambda) \)，这就是几何重数。

2. Jordan标准形的存在性

根据线性代数的基本理论，任何复数矩阵 \( A \) 都可以通过相似变换化为Jordan标准形 \( J \)。Jordan标准形由若干Jordan块组成，每个Jordan块的形式如下：

\[

J_k(\lambda) =

\begin{bmatrix}

\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 \\

0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda

\end{bmatrix}_{k \times k}.

\]

3. Jordan块的分析

对于一个 \( k \times k \) 的Jordan块 \( J_k(\lambda) \)，其特征值为 \( \lambda \)。观察可知：

- 特征子空间的维数为 1（仅包含 \( (1, 0, \ldots, 0)^T \)），因此几何重数为 1。

- 特征多项式的表达式为 \( (\lambda - \lambda)^k \)，因此代数重数为 \( k \)。

由此可以得出结论：对于单个Jordan块，几何重数始终小于或等于代数重数。

4. 矩阵的整体分析

由于矩阵 \( A \) 可以分解为若干Jordan块的直和形式，每个Jordan块的几何重数和代数重数的关系独立成立。因此，整个矩阵的几何重数是各Jordan块几何重数之和，代数重数是各Jordan块代数重数之和。这保证了整体上几何重数仍小于或等于代数重数。

四、总结

通过上述分析，我们证明了对于任意矩阵 \( A \)，其特征值 \( \lambda \) 的几何重数总是小于或等于代数重数。这一结论不仅揭示了特征值在代数和几何上的本质区别，也为进一步研究矩阵的结构提供了理论基础。

最终结论：几何重数 \( \leq \) 代数重数。

$$

\boxed{\text{几何重数小于等于代数重数}}

$$