在高等数学的学习过程中，三角函数与导数的结合是一个常见的考点。这类题目不仅考察了学生对基本导数公式和三角函数性质的理解，还考验了学生的综合分析能力。以下是一些精选的含有三角函数的导数试题及其解析，供同学们参考练习。

例题1：

求函数 $ f(x) = \sin(3x) + \cos(2x) $ 的导数。

解析：

根据导数的基本规则，$ \sin(ax) $ 的导数为 $ a\cos(ax) $，而 $ \cos(ax) $ 的导数为 $ -a\sin(ax) $。因此，

$$

f'(x) = 3\cos(3x) - 2\sin(2x).

$$

例题2：

设 $ g(x) = e^x \cdot \sin(x) $，求 $ g'(x) $。

解析：

这里需要使用乘积法则 $(uv)' = u'v + uv'$。令 $ u = e^x $ 和 $ v = \sin(x) $，则 $ u' = e^x $ 和 $ v' = \cos(x) $。因此，

$$

g'(x) = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) = e^x (\sin(x) + \cos(x)).

$$

例题3：

求函数 $ h(x) = \tan(x) $ 的导数，并说明其定义域。

解析：

由三角函数的导数公式，$\tan(x)$ 的导数为 $\sec^2(x)$。因此，

$$

h'(x) = \sec^2(x).

$$

需要注意的是，$\tan(x)$ 的定义域是所有不满足 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $（$k \in \mathbb{Z}$）的实数。

例题4：

已知 $ f(x) = \arcsin(\sin(x)) $，求 $ f'(x) $。

解析：

这是一个复合函数问题。首先，$\arcsin(\sin(x))$ 的值域是 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。当 $ x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ 时，$ f(x) = x $，所以 $ f'(x) = 1 $。当 $ x \notin [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ 时，需要分段讨论，但整体上，函数的导数在大部分区间内为 $ \pm 1 $。

总结：

以上四道题目涵盖了三角函数导数的基础应用、乘积法则以及复合函数的求导方法。通过这些练习，可以加深对三角函数与导数关系的理解。希望同学们能够灵活运用这些知识点，在考试中取得好成绩！

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