在大学数学课程中，线性代数是一门非常重要的基础学科。它不仅在理论数学中占据核心地位，而且在线性规划、计算机图形学、数据分析等领域也有广泛的应用。为了帮助大家更好地理解和掌握线性代数的知识点，本文将结合一些典型的试题及其解答来深入探讨这一领域。

首先，我们来看一个关于矩阵的基本问题：

题目：

设矩阵A = [3 2; 1 4] 和 B = [1 -1; 0 2]，求矩阵C = A B，并判断矩阵C是否可逆。

解答：

要计算矩阵乘积C = A B，我们需要按照矩阵乘法的规则进行运算。具体地，C的第一行第一列元素为31 + 20 = 3；第一行第二列元素为3(-1) + 22 = 1；第二行第一列元素为11 + 40 = 1；第二行第二列元素为1(-1) + 42 = 7。因此，得到矩阵C如下：

\[ C = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} \]

接下来，判断矩阵C是否可逆。一个矩阵是可逆的当且仅当其行列式不等于零。对于矩阵C，其行列式det(C) = (37) - (11) = 20。因为det(C) ≠ 0，所以矩阵C是可逆的。

再来看一个涉及向量空间的问题：

题目：

给定向量v1 = [1, 2, 3]和v2 = [4, 5, 6]，试证明它们是否线性相关，并给出结论。

解答：

两个向量线性相关的条件是存在非零实数k使得kv1=v2成立。我们尝试解方程组：

\[ k[1, 2, 3] = [4, 5, 6] \]

即

\[ k=4, 2k=5, 3k=6 \]

显然这三个等式无法同时满足（因为k不能同时等于4和2.5），所以这两个向量是线性无关的。

以上只是线性代数中一些基本概念的例子。实际上，线性代数还包括特征值与特征向量、正交化过程等内容。通过不断练习和思考这些问题，可以逐步提高解决实际问题的能力。希望上述例子能够为大家提供一定的参考价值。