在数学分析中，求导数是研究函数变化率的重要工具。熟练掌握各种基本函数的求导法则和常用公式，不仅能够帮助我们更深入地理解函数的性质，还能为解决实际问题提供便利。以下是常见的导数公式汇总：
基本初等函数的导数公式
1. 常数函数
若 \( f(x) = c \)，则 \( f'(x) = 0 \)。
2. 幂函数
若 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = nx^{n-1} \)（\( n \in \mathbb{R} \)）。
3. 指数函数
- 若 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = e^x \)。
- 若 \( f(x) = a^x \)（\( a > 0, a \neq 1 \)），则 \( f'(x) = a^x \ln(a) \)。
4. 对数函数
- 若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
- 若 \( f(x) = \log_a(x) \)（\( a > 0, a \neq 1 \)），则 \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \)。
5. 三角函数
- 若 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( f'(x) = \cos(x) \)。
- 若 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( f'(x) = -\sin(x) \)。
- 若 \( f(x) = \tan(x) \)，则 \( f'(x) = \sec^2(x) \)。
6. 反三角函数
- 若 \( f(x) = \arcsin(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。
- 若 \( f(x) = \arccos(x) \)，则 \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。
- 若 \( f(x) = \arctan(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)。
求导的基本法则
除了上述基本函数的导数外，还有一些常用的求导法则可以帮助我们处理复杂函数的导数计算。
7. 四则运算求导法则
- 加减法：若 \( u(x), v(x) \) 可导，则 \( [u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x) \)。
- 乘法：若 \( u(x), v(x) \) 可导，则 \( [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)。
- 除法：若 \( u(x), v(x) \) 可导且 \( v(x) \neq 0 \)，则 \( \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \)。
8. 复合函数求导法则（链式法则）
若 \( y = f(u) \)，而 \( u = g(x) \)，则 \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)。
9. 隐函数求导法则
对于隐函数 \( F(x, y) = 0 \)，可以通过全微分得到 \( \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} \)。
高阶导数公式
10. 高阶导数的莱布尼茨公式
若 \( u(x), v(x) \) 具有任意阶导数，则
\[
(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}
\]
其中 \( C_n^k \) 是组合数。
应用举例
示例 1：计算 \( f(x) = x^3 \ln(x) \) 的导数
利用乘法法则：
\[
f'(x) = (x^3)' \ln(x) + x^3 (\ln(x))'
\]
\[
f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^3 \cdot \frac{1}{x}
\]
\[
f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2
\]
示例 2：计算 \( y = \tan^{-1}(2x) \) 的导数
利用反三角函数的求导公式：
\[
y' = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot (2x)'
\]
\[
y' = \frac{1}{1+4x^2} \cdot 2
\]
\[
y' = \frac{2}{1+4x^2}
\]
通过以上公式和方法，我们可以灵活应对各类函数的求导问题。熟练掌握这些公式和法则，将极大提升解决问题的速度与准确性。
