在投资学和赌博理论中，凯利公式（Kelly Criterion）是一种用于确定最佳投资或下注比例的方法。它由约翰·拉里·凯利于1956年提出，并在随后的几十年中被广泛应用于金融领域。本文将详细介绍凯利公式的推导过程。
首先，我们需要定义一些基本的概念。假设我们有一个赌局，其中获胜的概率为 \( p \)，失败的概率为 \( q = 1 - p \)。每次赌局的收益与损失比例为 \( b \)（即如果赢了，我们可以获得 \( b \) 倍的投入；如果输了，则损失全部投入）。我们的目标是找到一个最优的比例 \( f^ \)，使得我们在长期博弈中能够最大化我们的资本增长率。
1. 资本增长模型
假设初始资本为 \( V_0 \)，每次赌局后资本的变化可以用以下公式表示：
\[ V_{n+1} = V_n (1 + fX) \]
其中：
- \( V_n \) 是第 \( n \) 次赌局后的资本。
- \( f \) 是每次赌局中投入资本的比例。
- \( X \) 是一次赌局的结果，定义为：
\[
X =
\begin{cases}
b, & \text{当赢得赌局时} \\
-1, & \text{当输掉赌局时}
\end{cases}
\]
2. 平均对数资本增长
为了简化问题，我们考虑对数形式的资本增长。对数形式的增长率 \( G \) 可以表示为：
\[ G = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \ln(1 + fX_i) \]
其中 \( N \) 是赌局的总次数，\( X_i \) 是第 \( i \) 次赌局的结果。根据大数定律，当 \( N \) 趋于无穷大时，平均对数增长率 \( G \) 接近于期望值 \( E[\ln(1 + fX)] \)。
因此，我们需要最大化 \( E[\ln(1 + fX)] \)。
3. 计算期望值
根据 \( X \) 的定义，我们可以计算 \( E[\ln(1 + fX)] \)：
\[
E[\ln(1 + fX)] = p \ln(1 + fb) + q \ln(1 - f)
\]
将其展开并整理，得到：
\[
E[\ln(1 + fX)] = p \ln(1 + fb) + (1-p) \ln(1 - f)
\]
4. 最优化
为了找到最优的 \( f \)，我们需要对 \( E[\ln(1 + fX)] \) 关于 \( f \) 求导，并令其等于零。首先求导：
\[
\frac{d}{df} E[\ln(1 + fX)] = \frac{pb}{1 + fb} - \frac{q}{1 - f}
\]
令其等于零，得到：
\[
\frac{pb}{1 + fb} = \frac{q}{1 - f}
\]
交叉相乘并整理，得到：
\[
pb(1 - f) = q(1 + fb)
\]
进一步整理，得到：
\[
p + pf - pb - pbf = q + qf
\]
\[
p - pb = q + qf + pf + pbf
\]
\[
p(1 - b) = q(1 + f) + pf
\]
\[
p(1 - b) = q + qf + pf
\]
\[
p(1 - b) = q + f(p + q)
\]
由于 \( p + q = 1 \)，代入后得到：
\[
p(1 - b) = q + f
\]
解出 \( f \)，得到：
\[
f = p(1 - b) - q
\]
\[
f = p(1 - b) - (1 - p)
\]
\[
f = p - pb - 1 + p
\]
\[
f = 2p - 1 - pb
\]
最终，最优的投注比例 \( f^ \) 为：
\[
f^ = \frac{bp - q}{b}
\]
或者等价地：
\[
f^ = p - \frac{q}{b}
\]
结论
通过上述推导，我们得到了凯利公式的最优投注比例 \( f^ \)。这个公式告诉我们，在任何具有正期望值的赌局中，我们应该根据自己的胜率和赔率来调整投注比例，以实现资本的长期最大化增长。
请注意，虽然凯利公式提供了一个理想的策略，但在实际应用中，投资者需要根据自身的风险承受能力和市场条件进行适当的调整。
