二面角的求法例题带图二面角的求法

在几何学中，二面角是一个非常重要的概念。它指的是两个平面相交所形成的角，通常用于描述空间中的角度关系。为了更好地理解二面角的求解方法，我们通过一个具体的例题来详细讲解。

假设我们有一个立方体ABCD-EFGH，其中ABCD为底面，EFGH为顶面。现在我们需要计算平面ABCD与平面EFGH之间的二面角。

解题步骤

1. 确定法向量

- 平面ABCD可以看作是x-y平面上的一个矩形，其法向量为$\vec{n_1} = (0, 0, 1)$。

- 平面EFGH平行于平面ABCD，因此其法向量也为$\vec{n_2} = (0, 0, 1)$。

2. 计算夹角

- 根据公式$\cos\theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$，我们可以得到：

$$

\cos\theta = \frac{(0, 0, 1) \cdot (0, 0, 1)}{|(0, 0, 1)| |(0, 0, 1)|} = \frac{1}{1 \times 1} = 1

$$

- 因此，$\theta = \arccos(1) = 0^\circ$。

3. 结论

- 平面ABCD与平面EFGH之间的二面角为$0^\circ$，说明这两个平面完全平行。

图解分析


从上图可以看出，平面ABCD和EFGH之间的交线为z轴，且它们的法向量方向一致，因此夹角为$0^\circ$。

通过这个例题，我们可以清晰地看到如何利用法向量来求解二面角的问题。希望这个例子能够帮助大家更好地理解和掌握二面角的求法。

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