在初中数学中，二次函数是一个非常重要的知识点，而将其一般式转化为顶点式则是解决相关问题的关键步骤之一。通过掌握这一转化技巧，可以更直观地分析抛物线的顶点坐标、开口方向以及对称轴等信息。本文将结合具体例题，详细讲解如何将二次函数的一般式化为顶点式，并提供详细的解答过程。
一、什么是二次函数的一般式与顶点式？
1. 一般式
二次函数的一般式为：
\[
y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
\]
其中，\(a\) 决定抛物线的开口方向（当 \(a > 0\) 时开口向上，当 \(a < 0\) 时开口向下），\(b\) 和 \(c\) 则影响抛物线的位置。
2. 顶点式
二次函数的顶点式为：
\[
y = a(x - h)^2 + k
\]
其中，\((h, k)\) 是抛物线的顶点坐标，\(a\) 的意义与一般式相同。
二、如何从一般式化为顶点式？
将一般式转化为顶点式的核心方法是配方法。以下是具体的步骤：
1. 提取 \(a\) 值（如果 \(a \neq 1\)）。
2. 对括号内的部分进行配方，使其成为完全平方形式。
3. 整理得到顶点式。
三、例题解析
例题 1
已知二次函数的一般式为：
\[
y = x^2 - 4x + 5
\]
求其顶点式并写出顶点坐标。
解题过程
1. 将一般式写为：
\[
y = (x^2 - 4x) + 5
\]
2. 配方：提取 \(x^2 - 4x\) 中的系数，将其配成完全平方。
\[
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
\]
（因为 \((-2)^2 = 4\)，所以需要减去 4 补全平方）
3. 将配方结果代入原式：
\[
y = [(x - 2)^2 - 4] + 5
\]
化简得：
\[
y = (x - 2)^2 + 1
\]
4. 顶点式为：
\[
y = (x - 2)^2 + 1
\]
因此，顶点坐标为 \((2, 1)\)。
答案：
\[
\boxed{y = (x - 2)^2 + 1, \text{顶点坐标为 } (2, 1)}
\]
例题 2
已知二次函数的一般式为：
\[
y = -2x^2 + 8x - 6
\]
求其顶点式并写出顶点坐标。
解题过程
1. 提取 \(a = -2\)：
\[
y = -2(x^2 - 4x) - 6
\]
2. 配方：提取 \(x^2 - 4x\) 中的系数，将其配成完全平方。
\[
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
\]
3. 将配方结果代入原式：
\[
y = -2[(x - 2)^2 - 4] - 6
\]
化简得：
\[
y = -2(x - 2)^2 + 8 - 6
\]
\[
y = -2(x - 2)^2 + 2
\]
4. 顶点式为：
\[
y = -2(x - 2)^2 + 2
\]
因此，顶点坐标为 \((2, 2)\)。
答案：
\[
\boxed{y = -2(x - 2)^2 + 2, \text{顶点坐标为 } (2, 2)}
\]
四、总结
通过以上两道例题可以看出，将二次函数的一般式化为顶点式的关键在于熟练运用配方法。掌握这一技巧后，可以快速确定抛物线的顶点坐标、开口方向及对称轴，从而更高效地解决问题。
希望本文的内容能够帮助你更好地理解二次函数的性质及其应用！如果还有其他疑问，欢迎随时交流探讨。
