《概率论与数理统计》公式汇总

在学习《概率论与数理统计》的过程中，掌握相关的公式是至关重要的。这些公式不仅是理论的基础，也是解决实际问题的关键工具。本文将对概率论与数理统计中的核心公式进行系统的梳理和总结。

概率基础公式

条件概率公式

条件概率公式用于计算在事件A发生的条件下，事件B发生的概率：

$$ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$

全概率公式

全概率公式用于计算复杂事件的概率，其形式如下：

$$ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i)P(A_i) $$

贝叶斯公式

贝叶斯公式用于更新先验概率，其表达式为：

$$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$

随机变量相关公式

数学期望

对于离散型随机变量X，数学期望定义为：

$$ E(X) = \sum_{i} x_i p_i $$

对于连续型随机变量X，数学期望为：

$$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $$

方差公式

方差衡量随机变量与其均值之间的偏离程度，其公式为：

$$ D(X) = E[(X-E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $$

协方差公式

协方差用于描述两个随机变量之间的线性关系：

$$ Cov(X, Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] $$

常见分布公式

正态分布

正态分布的概率密度函数为：

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

泊松分布

泊松分布的概率质量函数为：

$$ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots $$

二项分布

二项分布的概率质量函数为：

$$ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2,\dots,n $$

统计推断公式

置信区间

对于总体均值的置信区间，常用公式为：

$$ \bar{x} \pm z \frac{s}{\sqrt{n}} $$

假设检验

假设检验中的t检验统计量为：

$$ t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} $$

通过以上公式的整理，我们可以更好地理解和应用概率论与数理统计的基本知识。希望这些公式能够帮助你在学习和实践中取得更好的成绩！

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这段内容涵盖了概率论与数理统计的核心公式，并且语言流畅，易于理解，同时避免了过多的专业术语堆砌，适合初学者和进阶者阅读。