在数学领域中，近世代数（也称抽象代数）是一门研究代数结构的学科，包括群、环、域等基本概念及其性质。这门课程通常会涉及大量的理论证明和习题练习，对于初学者来说，理解并掌握这些内容可能会有一定的难度。因此，提供一些详细的习题解答可以帮助学习者更好地理解和应用所学知识。

首先，我们来看一个关于群的基本习题。假设G是一个有限群，且|G|=p^n，其中p是一个素数，n是正整数。根据Sylow定理，我们可以得出结论：存在一个阶为p^n的子群H，这个子群称为Sylow p-子群。接下来，我们将通过具体例子来验证这一结论。

例题：设G=Z_8（即模8的整数加法群），求出其所有的Sylow 2-子群。

解：我们知道|G|=8=2^3，所以我们要找的是阶为8的子群。由于Z_8本身就是一个循环群，它本身就是唯一的Sylow 2-子群。因此，在这种情况下，唯一的Sylow 2-子群就是G自身。

接下来，我们转向环的讨论。环是一种具有两种运算（通常为加法和乘法）的代数结构，其中加法形成一个阿贝尔群，乘法满足结合律，并且乘法对加法有分配性。下面给出一个简单的环的例子及其性质。

例题：考虑整数集Z上的普通加法和乘法。证明(Z,+,)构成一个环。

证明：首先，(Z,+)是一个阿贝尔群，因为加法满足交换律、结合律以及存在单位元0和每个元素都有逆元。其次，乘法在Z上也是封闭的，并且满足结合律。最后，乘法对加法有左右分配性，即对于任意a,b,c∈Z，有a(b+c)=ab+ac以及(b+c)a=ba+ca。综上所述，(Z,+,)确实构成一个环。

最后，我们探讨一下域的概念。域是一种特殊的环，其中非零元素对于乘法构成一个阿贝尔群。常见的例子包括有理数Q、实数R和复数C。下面我们通过一个问题来加深对域的理解。

例题：证明Q是一个域。

证明：首先，Q是一个交换环，因为它满足加法和乘法的所有必要条件。其次，除了零以外的所有元素在乘法下都是可逆的，即对于任何q∈Q且q≠0，存在q^-1∈Q使得qq^-1=1。因此，Q满足域的所有定义条件，故Q是一个域。

以上就是几个典型的近世代数习题及其解答。通过这些问题的学习，我们可以更深入地理解群、环、域等基本概念及其相关性质。希望这些解答能够帮助大家更好地掌握近世代数的基础知识。