在三维空间中，向量积（又称叉积）是两个向量之间的一种重要运算方式，它不仅具有几何意义，还能通过坐标形式进行计算。本文将围绕向量积的坐标表达式展开讨论，并进一步探讨其在实际应用中的度量性质。
一、向量积的基本概念
向量积是两个向量相乘后得到的一个新向量，其方向垂直于原两个向量所构成的平面，大小等于这两个向量所形成的平行四边形的面积。向量积通常用符号“×”表示，例如：若向量 a 和 b 的向量积为 c，则可写作：
$$
\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}
$$
向量积的结果是一个向量，而不是标量，因此也被称为“矢量积”。
二、向量积的坐标表示方法
设向量 a 和 b 在三维直角坐标系下的坐标分别为：
$$
\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
则它们的向量积 c = a × b 的坐标可以按照如下公式计算：
$$
\mathbf{c} = (a_2b_3 - a_3b_2, \, a_3b_1 - a_1b_3, \, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
该公式的推导基于行列式的形式，即：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
其中，i、j、k 分别为 x、y、z 轴方向的单位向量。
三、向量积的几何意义与度量特性
1. 方向性
向量积的方向由右手螺旋法则决定：若将右手的四指从 a 指向 b，拇指所指的方向即为 a × b 的方向。
2. 模长计算
向量积的模长等于两个向量所形成的平行四边形的面积，计算公式为：
$$
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta
$$
其中 θ 是向量 a 与 b 之间的夹角。
3. 正交性
向量积 a × b 与原向量 a 和 b 都垂直，即：
$$
(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} = 0, \quad (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{b} = 0
$$
4. 反对称性
向量积满足以下性质：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})
$$
这意味着交换两个向量的位置会改变结果的方向。
四、向量积在实际问题中的应用
向量积在物理、工程和计算机图形学等多个领域都有广泛应用。例如：
- 在力学中，力矩的计算就是利用向量积来实现的；
- 在计算机图形学中，法向量的计算常依赖于向量积；
- 在电磁学中，洛伦兹力的表达式也涉及向量积。
五、总结
向量积作为向量运算的重要组成部分，不仅在数学上有明确的坐标表示，还具备丰富的几何意义和实用价值。掌握其坐标运算方法以及相关的度量特性，有助于更深入地理解三维空间中的向量关系，并在实际问题中灵活运用。
如需进一步了解向量积与其他向量运算（如点积）的区别或具体应用场景，欢迎继续交流。
