在初中数学的学习中，二次函数是一个重要的知识点，它不仅在课本中有详细的讲解，而且在中考和各类考试中也占有较大比重。为了帮助同学们更好地掌握二次函数的相关知识，下面整理了一套典型的二次函数练习题，并附有详细解答，方便大家巩固所学内容。
一、选择题
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. $ y = 3x + 2 $
B. $ y = x^2 - 4x + 5 $
C. $ y = \frac{1}{x} $
D. $ y = 5 $
答案：B
解析：二次函数的一般形式为 $ y = ax^2 + bx + c $，其中 $ a \neq 0 $。只有选项B符合这一形式。
2. 抛物线 $ y = -2x^2 + 4x - 1 $ 的开口方向是（ ）
A. 向上
B. 向下
C. 向左
D. 向右
答案：B
解析：二次项系数为负数（-2），因此抛物线开口向下。
3. 若抛物线 $ y = x^2 + bx + 3 $ 的顶点在 y 轴上，则 b 的值是（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 3
答案：A
解析：顶点在 y 轴上说明对称轴为 x = 0，即 $ -\frac{b}{2} = 0 $，解得 $ b = 0 $。
二、填空题
4. 抛物线 $ y = 2x^2 - 8x + 7 $ 的顶点坐标是 ________。
答案：(2, -1)
解析：顶点横坐标为 $ x = -\frac{-8}{2×2} = 2 $，代入得 $ y = 2×2^2 - 8×2 + 7 = -1 $。
5. 已知二次函数的图象经过点 (1, 2) 和 (3, 2)，且开口向上，那么它的对称轴是直线 ________。
答案：x = 2
解析：两点纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，对称轴为两横坐标的中点，即 $ x = \frac{1+3}{2} = 2 $。
三、解答题
6. 求函数 $ y = -x^2 + 4x - 3 $ 的顶点坐标，并判断其最大值或最小值。
解：
顶点横坐标为 $ x = -\frac{4}{2×(-1)} = 2 $
代入得 $ y = -(2)^2 + 4×2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 $
由于二次项系数为负，抛物线开口向下，故顶点为最高点，最大值为 1。
7. 已知某二次函数的图象经过点 (0, 3)、(1, 0) 和 (2, 3)，求这个二次函数的解析式。
解：
设函数为 $ y = ax^2 + bx + c $
将三点代入得：
当 $ x = 0 $，$ y = 3 $ ⇒ $ c = 3 $
当 $ x = 1 $，$ y = 0 $ ⇒ $ a + b + 3 = 0 $ ⇒ $ a + b = -3 $
当 $ x = 2 $，$ y = 3 $ ⇒ $ 4a + 2b + 3 = 3 $ ⇒ $ 4a + 2b = 0 $ ⇒ $ 2a + b = 0 $
联立方程：
$ a + b = -3 $
$ 2a + b = 0 $
相减得：$ a = 3 $，代入得 $ b = -6 $
所以解析式为：$ y = 3x^2 - 6x + 3 $
四、综合应用题
8. 某商品的销售利润与销售量之间的关系可用二次函数表示为 $ P = -2x^2 + 20x - 50 $，其中 $ x $ 表示销售量（单位：件），$ P $ 表示利润（单位：元）。
（1）求该商品的利润最大值；
（2）当利润为 0 时，销售量是多少？
解：
（1）顶点横坐标为 $ x = -\frac{20}{2×(-2)} = 5 $
代入得 $ P = -2×5^2 + 20×5 - 50 = -50 + 100 - 50 = 0 $
但注意，这里可能计算错误，应重新代入验证：
$ P = -2×25 + 100 - 50 = -50 + 50 = 0 $
这说明题目可能存在设定问题，或者需进一步分析。
（2）令 $ P = 0 $，解方程：
$ -2x^2 + 20x - 50 = 0 $
两边除以 -2 得：
$ x^2 - 10x + 25 = 0 $
解得：$ x = 5 $（重根）
通过以上练习题的训练，可以帮助学生加深对二次函数的理解，提升解题能力。建议同学们在做题过程中注重理解函数图像的变化规律，掌握顶点、对称轴、最值等关键性质，从而在实际问题中灵活运用。
