在数学学习中，三角函数是基础而重要的内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式不仅有助于解题，还能提高逻辑思维能力和问题分析能力。本文将系统整理和讲解常用的三角函数公式，帮助读者全面理解和灵活运用。
一、基本定义
三角函数通常是在直角三角形中定义的，也可以推广到单位圆上进行更广泛的讨论。
设一个角为θ，其终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- 正弦函数：sinθ = y
- 余弦函数：cosθ = x
- 正切函数：tanθ = y/x（x ≠ 0）
- 余切函数：cotθ = x/y（y ≠ 0）
- 正割函数：secθ = 1/x（x ≠ 0）
- 余割函数：cscθ = 1/y（y ≠ 0）
二、常用公式汇总
1. 基本关系式
- 倒数关系：
- sinθ · cscθ = 1
- cosθ · secθ = 1
- tanθ · cotθ = 1
- 商数关系：
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
- 平方关系：
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
2. 和差角公式
- sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
- cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB
- tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)
3. 二倍角公式
- sin2θ = 2 sinθ cosθ
- cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
- tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ)
4. 半角公式
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]
- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = sinθ / (1 + cosθ)
5. 万能公式（正弦、余弦、正切的表达式）
- sinθ = 2t / (1 + t²)
- cosθ = (1 - t²) / (1 + t²)
- tanθ = 2t / (1 - t²)
其中，t = tan(θ/2)
6. 积化和差公式
- sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2
- cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2
- sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2
7. 和差化积公式
- sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]
- sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2]
- cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]
- cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2]
三、特殊角度的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinθ | cosθ | tanθ |
|-----------|-------------|--------|--------|--------|
| 0 | 0 | 0| 1| 0|
| 30| π/6 | 1/2| √3/2 | 1/√3 |
| 45| π/4 | √2/2 | √2/2 | 1|
| 60| π/3 | √3/2 | 1/2| √3 |
| 90| π/2 | 1| 0| 无意义 |
四、三角函数的图像与性质
- sinθ：周期为2π，定义域为R，值域为[-1, 1]，奇函数
- cosθ：周期为2π，定义域为R，值域为[-1, 1]，偶函数
- tanθ：周期为π，定义域为θ ≠ π/2 + kπ，值域为R，奇函数
五、应用举例
1. 求解方程：如sinθ = 1/2，可得θ = π/6 + 2kπ 或 5π/6 + 2kπ
2. 计算长度或角度：在三角形中利用正弦定理或余弦定理
3. 物理中的应用：如简谐振动、波动方程等
六、小结
三角函数公式繁多，但掌握核心公式并理解其推导过程是关键。通过不断练习和实际应用，可以逐步提升对三角函数的理解和运用能力。希望本文能为你的学习提供帮助，也欢迎继续深入研究相关知识。
