【弹性力学(徐芝纶)习题答案】在学习弹性力学的过程中，掌握基本理论与解题方法是关键。《弹性力学》（徐芝纶编著）作为一本经典的教材，内容系统、逻辑严谨，广泛应用于高校相关专业的教学中。为了帮助学生更好地理解课程内容并提升解题能力，本文将对部分典型习题进行详细解析，力求提供清晰、准确的解答思路。
一、弹性力学基础概念回顾
弹性力学主要研究物体在受力作用下产生的应力、应变以及位移之间的关系。其核心内容包括：平衡方程、几何方程、物理方程以及边界条件等。这些方程共同构成了弹性力学的基本框架，是求解各类弹性问题的基础。
二、典型习题解析
例题1：平面应力状态下的应力分析
题目描述：
已知某点处的应力分量为：σ_x = 40 MPa，σ_y = -20 MPa，τ_xy = 30 MPa，试求该点的主应力及最大剪应力。
解题思路：
1. 使用主应力公式计算主应力：
$$
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}
$$
2. 计算最大剪应力：
$$
\tau_{\text{max}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}
$$
计算过程：
- 平均应力：
$$
\sigma_{\text{avg}} = \frac{40 + (-20)}{2} = 10 \, \text{MPa}
$$
- 应力差平方项：
$$
\left( \frac{40 - (-20)}{2} \right)^2 = (30)^2 = 900
$$
- 剪应力平方项：
$$
\tau_{xy}^2 = 30^2 = 900
$$
- 主应力：
$$
\sigma_{1,2} = 10 \pm \sqrt{900 + 900} = 10 \pm \sqrt{1800} \approx 10 \pm 42.43
$$
所以，
$$
\sigma_1 \approx 52.43 \, \text{MPa}, \quad \sigma_2 \approx -32.43 \, \text{MPa}
$$
- 最大剪应力：
$$
\tau_{\text{max}} = \frac{52.43 - (-32.43)}{2} = \frac{84.86}{2} = 42.43 \, \text{MPa}
$$
结论：
该点的主应力分别为约52.43 MPa和-32.43 MPa，最大剪应力为42.43 MPa。
例题2：矩形薄板的弯曲问题
题目描述：
一矩形薄板，长度为a，宽度为b，厚度为h，两端固定，承受均布载荷q。求其挠度表达式。
解题思路：
1. 根据弹性力学中的薄板弯曲理论，建立挠曲方程。
2. 引入边界条件，求解微分方程。
3. 得到挠度函数表达式。
关键公式：
对于四边固定的矩形薄板，挠度w(x,y)满足：
$$
D \nabla^4 w = q
$$
其中，D为抗弯刚度，定义为：
$$
D = \frac{E h^3}{12(1 - \nu^2)}
$$
解法步骤：
通过分离变量法或傅里叶级数展开法求解上述偏微分方程，并结合边界条件得出挠度表达式。最终结果形式为：
$$
w(x, y) = \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty A_{mn} \sin\left(\frac{m\pi x}{a}\right) \sin\left(\frac{n\pi y}{b}\right)
$$
其中，A_{mn}由载荷q和边界条件确定。
三、学习建议
1. 注重基础公式的理解：弹性力学涉及大量公式和推导，理解其物理意义有助于提高解题效率。
2. 多做练习题：通过反复练习，巩固知识点，熟悉各种类型的题目。
3. 结合图示分析：利用应力图、应变图等辅助理解问题，增强直观判断能力。
4. 查阅参考资料：在遇到困难时，可参考其他教材或网络资源，拓宽解题思路。
四、结语
《弹性力学》（徐芝纶）是一门理论性强、应用广泛的学科，掌握其核心内容不仅有助于考试，更能为今后的工程实践打下坚实基础。通过对典型习题的深入分析与思考，可以有效提升解题能力和学术素养。希望本文能为广大同学提供有价值的参考与帮助。
