【22.1.3二次函数y（ax2+k图象和性质）】在初中数学中，二次函数是研究函数图像和性质的重要内容之一。其中，形如 $ y = ax^2 + k $ 的二次函数具有较为简单的结构，但其图像和性质却蕴含着丰富的数学规律。本文将围绕该类二次函数的图像特征及其变化规律进行详细分析。

一、函数的基本形式

二次函数的一般形式为 $ y = ax^2 + bx + c $，而当 $ b = 0 $ 时，函数简化为 $ y = ax^2 + k $，其中 $ a $ 和 $ k $ 是常数，且 $ a \neq 0 $。这类函数的图像是一个抛物线，其顶点位于 $ (0, k) $ 处。

- 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；

- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。

因此，$ k $ 决定了抛物线的垂直位置，而 $ a $ 则影响了抛物线的宽窄程度和开口方向。

二、图像的绘制方法

要绘制 $ y = ax^2 + k $ 的图像，可以按照以下步骤进行：

1. 确定顶点坐标：由于该函数没有一次项，顶点横坐标为 0，纵坐标为 $ k $，即顶点为 $ (0, k) $。

2. 选取对称点：取几个不同的 $ x $ 值（如 $ x = -2, -1, 0, 1, 2 $），代入函数计算对应的 $ y $ 值，得到多个点。

3. 描点连线：将这些点在坐标系中描出，并用平滑曲线连接，形成抛物线。

例如，若 $ a = 1 $，$ k = 2 $，则函数为 $ y = x^2 + 2 $，其图像为以 $ (0, 2) $ 为顶点的开口向上的抛物线。

三、函数的性质分析

1. 对称性

该函数关于 $ y $ 轴对称，因为对于任意 $ x $，有 $ f(-x) = a(-x)^2 + k = ax^2 + k = f(x) $。因此，其图像关于 $ y $ 轴对称。

2. 最值

- 若 $ a > 0 $，函数在顶点处取得最小值，即 $ y_{\text{min}} = k $；

- 若 $ a < 0 $，函数在顶点处取得最大值，即 $ y_{\text{max}} = k $。

3. 开口方向与大小

- $ a $ 的正负决定了抛物线的开口方向；

- $ |a| $ 的大小决定了抛物线的“宽窄”程度。$ |a| $ 越大，抛物线越“窄”，反之则越“宽”。

四、实际应用举例

在现实生活中，许多现象都可以用 $ y = ax^2 + k $ 这种形式的函数来描述。例如：

- 投掷物体的运动轨迹（忽略空气阻力）；

- 某些经济模型中的成本或收益函数；

- 工程设计中的曲线结构等。

通过分析这些函数的图像和性质，可以帮助我们更好地理解事物的变化规律，并做出合理的预测和决策。

五、总结

$ y = ax^2 + k $ 是一种常见的二次函数形式，其图像为抛物线，具有对称性、最值特性以及由参数 $ a $ 和 $ k $ 所决定的开口方向和位置。掌握这一类函数的图像与性质，不仅有助于提升数学素养，也为后续学习更复杂的函数打下坚实基础。