【积分常用公式】在数学的学习与应用中，积分是一个非常重要的概念，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握一些常见的积分公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对积分本质的理解。以下是一些在实际计算中经常用到的积分公式，涵盖了基本初等函数的积分形式。
一、基本积分公式
1. 常数函数积分
$$
\int a \, dx = ax + C
$$
其中 $ a $ 为常数，$ C $ 为积分常数。
2. 幂函数积分
$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$
当 $ n = -1 $ 时，积分结果为 $ \ln|x| + C $。
3. 指数函数积分
$$
\int e^x \, dx = e^x + C
$$
$$
\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)
$$
4. 三角函数积分
$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$
$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$
$$
\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C
$$
$$
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
$$
5. 反三角函数积分
$$
\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C
$$
二、常见函数的不定积分
| 函数 | 积分结果 |
|------|----------|
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ |
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ |
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ |
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln|x| + C $ |
| $ \frac{1}{ax+b} $ | $ \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C $ |
| $ \frac{1}{x^2+a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
三、积分技巧与常见替换方法
1. 换元积分法（第一类）
设 $ u = g(x) $，则：
$$
\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du
$$
2. 分部积分法
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
3. 有理函数分解
对于形如 $ \frac{P(x)}{Q(x)} $ 的有理函数，可进行多项式除法或部分分式分解后积分。
4. 三角代换
在遇到根号下含有平方项时，如 $ \sqrt{a^2 - x^2} $、$ \sqrt{a^2 + x^2} $ 等，可采用相应的三角代换简化积分过程。
四、定积分与不定积分的区别
- 不定积分：表示原函数的集合，包含任意常数 $ C $。
- 定积分：表示函数在某个区间上的面积，结果是一个数值，不包含常数。
例如：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
五、总结
积分是微积分的核心内容之一，熟练掌握各类函数的积分公式和计算技巧，能够极大提升解题效率和准确性。无论是基础的幂函数、指数函数，还是复杂的三角函数、反三角函数，都有其对应的积分表达式。通过不断练习和积累，可以更加灵活地应对各种积分问题。
注：本文内容基于基础积分知识整理而成，适用于高中及以上数学学习者参考使用。
