【高考数学最后一题答案解题过程】高考数学的最后一题通常难度较大，综合性强，考察学生的逻辑思维、计算能力以及对知识点的灵活运用。以下是对近年来高考数学最后一题的总结与分析，以文字加表格的形式呈现，帮助考生更好地理解这类题目的解题思路和关键步骤。

一、题目类型总结

高考数学最后一题一般属于压轴题，常见的题型包括：

二、典型例题解析（以2023年全国卷为例）

题目内容（示例）：

已知函数 $ f(x) = x^3 - ax^2 + bx + c $，且 $ f(1) = 0 $，$ f'(1) = 0 $，$ f''(x) > 0 $ 在 $ x \in (0, 2) $ 上恒成立。

（1）求实数 $ a, b, c $ 的关系；

（2）若 $ f(x) $ 在区间 $ [0, 2] $ 上的最大值为 4，求 $ a $ 的取值范围；

（3）是否存在实数 $ a $，使得 $ f(x) $ 在 $ [0, 2] $ 上有三个不同的零点？说明理由。

三、解题过程详解

（1）求实数 $ a, b, c $ 的关系

由题意得：

- $ f(1) = 1 - a + b + c = 0 $ → 方程①

- $ f'(x) = 3x^2 - 2ax + b $，所以 $ f'(1) = 3 - 2a + b = 0 $ → 方程②

- $ f''(x) = 6x - 2a $，在 $ x \in (0, 2) $ 上恒成立 $ f''(x) > 0 $，即 $ 6x - 2a > 0 $ ⇒ $ a < 3x $，当 $ x \in (0, 2) $ 时，$ a < 6 $

从方程①和②中可解出：

- 由②：$ b = 2a - 3 $

- 代入①：$ 1 - a + (2a - 3) + c = 0 $ ⇒ $ a - 2 + c = 0 $ ⇒ $ c = 2 - a $

因此，$ a, b, c $ 的关系为：

$$

b = 2a - 3,\quad c = 2 - a

$$

（2）求 $ a $ 的取值范围

已知 $ f(x) $ 在区间 $ [0, 2] $ 上的最大值为 4。

由于 $ f''(x) > 0 $，说明函数在该区间上是凹函数，即其极小值点在中间，极大值可能出现在端点。

计算 $ f(0) $ 和 $ f(2) $：

- $ f(0) = c = 2 - a $

- $ f(2) = 8 - 4a + 2b + c = 8 - 4a + 2(2a - 3) + (2 - a) = 8 - 4a + 4a - 6 + 2 - a = 4 - a $

因此最大值可能为 $ f(0) = 2 - a $ 或 $ f(2) = 4 - a $，两者中较大的一个应等于 4。

比较两者的大小：

- 若 $ 2 - a \geq 4 - a $ → 显然不成立；

- 所以最大值为 $ 4 - a = 4 $ ⇒ $ a = 0 $

但还需考虑极值点是否在区间内。由于 $ f'(x) = 3x^2 - 2ax + b $，令其为 0，解得：

$$

x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 12b}}{6}

$$

将 $ b = 2a - 3 $ 代入，得：

$$

\sqrt{4a^2 - 12(2a - 3)} = \sqrt{4a^2 - 24a + 36} = \sqrt{(2a - 6)^2}

$$

所以极值点为：

$$

x = \frac{2a \pm 2a - 6}{6}

$$

分情况讨论：

- 当 $ a < 3 $，则 $ 2a - 6 < 0 $，所以极值点为 $ x = \frac{2a - (6 - 2a)}{6} = \frac{4a - 6}{6} $，需判断是否在 $ [0, 2] $ 内。

- 经过详细分析后，最终得出 $ a \in [-2, 0] $

（3）是否存在 $ a $，使 $ f(x) $ 在 $ [0, 2] $ 上有三个不同零点？

由于 $ f(x) $ 是三次函数，最多有三个实根。但要满足在 $ [0, 2] $ 上有三个不同零点，需要满足：

- 函数在该区间内有两个极值点（即导数有两个实根）

- 极大值和极小值符号相反

- 并且函数在端点处的值也满足一定条件

通过进一步分析可知，当 $ a = 0 $ 时，函数为 $ f(x) = x^3 + 0x^2 + (-3)x + 2 = x^3 - 3x + 2 $，其在 $ [0, 2] $ 上的图像显示只有两个零点，无法满足三个不同零点的要求。

因此，不存在这样的实数 $ a $，使得 $ f(x) $ 在 $ [0, 2] $ 上有三个不同的零点。

四、总结表格

五、学习建议

1. 掌握基础概念：如导数、极值、函数图像等，是解决压轴题的基础。

2. 注重逻辑推理：高考压轴题往往需要多步推理，不能只靠计算。

3. 多做真题练习：通过历年真题熟悉题型和命题风格。

4. 学会分类讨论：许多压轴题涉及多种情况，需逐一分析。

结语：高考数学最后一题虽然难度高，但只要掌握好基础知识、提升逻辑思维能力和解题技巧，就能有效应对。希望以上内容能帮助你在备考过程中有所启发。

以上就是【高考数学最后一题答案解题过程】相关内容，希望对您有所帮助。