【arctanx的不定积分怎么推导】在微积分中，求解反三角函数的不定积分是常见的问题之一。其中，“arctanx”的不定积分是一个典型例子。本文将详细讲解如何通过分部积分法来推导这个积分，并以加表格的形式展示关键步骤和结果。

一、推导过程总结

为了求解 ∫ arctanx dx，我们可以使用分部积分法（Integration by Parts）。分部积分的基本公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

我们设：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

那么：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

代入公式得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来，对第二项进行积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{1}{2} dt $，因此：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \lnt + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

所以最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、关键步骤总结表

三、结论

通过分部积分法，我们成功地推导了 $ \int \arctan x \, dx $ 的表达式。整个过程清晰、逻辑严谨，体现了微积分中基本技巧的应用。对于类似的问题，掌握分部积分法是解决的关键。

如需进一步了解其他反三角函数的积分方法，可继续关注相关主题。

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