【期望方差公式总结】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量基本特征的重要指标。期望反映的是随机变量的平均值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这些公式的应用对于理解概率分布、进行数据分析以及实际问题建模都具有重要意义。
以下是对常见随机变量的期望与方差公式的总结，便于查阅和记忆。
一、离散型随机变量
| 随机变量类型 | 概率质量函数（PMF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 0-1分布（伯努利） | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $, $ k=0,1 $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1}p $, $ k=1,2,... $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
二、连续型随机变量
| 随机变量类型 | 概率密度函数（PDF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 伽马分布 $ Gamma(\alpha, \beta) $ | $ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} $ | $ \frac{\alpha}{\beta} $ | $ \frac{\alpha}{\beta^2} $ |
三、其他重要公式
1. 期望的线性性质：
对任意常数 $ a, b $ 和随机变量 $ X, Y $，有
$$
E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c
$$
2. 方差的展开式：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
3. 协方差与相关系数：
若 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，则
$$
Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y)
$$
相关系数为：
$$
\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}
$$
4. 方差的线性性质（仅当独立时）：
若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)
$$
四、小结
期望和方差是概率统计中最基础且最重要的两个概念。通过上述表格和公式，可以系统地掌握不同分布下的期望与方差计算方式，并能灵活应用于实际问题中。对于初学者来说，建议结合具体例子进行练习，以加深对概念的理解和应用能力。
希望这份总结能为你提供清晰的参考，帮助你在学习或工作中更高效地处理与期望和方差相关的计算问题。
以上就是【期望方差公式总结】相关内容，希望对您有所帮助。
