【期望和方差的计算公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的重要指标。期望反映了随机变量的平均值或中心位置，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对期望和方差计算公式的总结，并以表格形式进行对比展示。
一、期望（Expected Value）
期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均值，权重为各个取值发生的概率。
1. 离散型随机变量的期望
设离散型随机变量 $ X $ 可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(X = x_i) = p_i $，则其期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则其期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的波动性。
1. 离散型随机变量的方差
方差的计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i
$$
也可以使用简化公式：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
其中 $ E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i $
2. 连续型随机变量的方差
方差的计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
同样可以使用简化公式：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
其中 $ E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) \, dx $
三、总结表格
| 指标 | 定义 | 公式（离散型） | 公式（连续型） |
| 期望 $ E(X) $ | 随机变量的平均值 | $ \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i $ | $ \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx $ |
| 方差 $ \text{Var}(X) $ | 随机变量与期望的偏离程度 | $ \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i $ | $ \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx $ |
| $ E(X^2) - [E(X)]^2 $ | $ E(X^2) - [E(X)]^2 $ |
通过以上内容，我们可以清晰地理解期望和方差的定义及其在不同类型的随机变量中的计算方式。掌握这些公式对于分析数据分布、进行统计推断以及实际应用都具有重要意义。
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