【双曲线通径长公式推导过程】在解析几何中，双曲线是一种重要的圆锥曲线，其性质和公式在数学、物理等领域有广泛应用。其中，“通径”是双曲线的一个重要概念，指的是通过双曲线的焦点且垂直于实轴的弦。通径的长度称为“通径长”，其计算公式具有一定的规律性。
本文将对双曲线通径长的公式进行详细推导，并以加表格的形式展示结果，便于理解与记忆。
一、双曲线的基本定义与标准方程
双曲线的标准方程有两种形式：
1. 横轴双曲线（实轴在x轴上）：
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
2. 纵轴双曲线（实轴在y轴上）：
$$
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1
$$
其中：
- $ a $ 是实半轴长；
- $ b $ 是虚半轴长；
- 焦点位于实轴上，坐标分别为 $ (\pm c, 0) $ 或 $ (0, \pm c) $，其中 $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $。
二、通径的定义与几何意义
通径是指经过双曲线的焦点，且与实轴垂直的弦。由于双曲线关于实轴对称，因此通径在两个焦点处各有一条，长度相等。
三、通径长的推导过程
1. 横轴双曲线（实轴在x轴上）
设双曲线方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
焦点在 $ (\pm c, 0) $，其中 $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $
通径是一条垂直于x轴、过焦点 $ (c, 0) $ 的直线，即 $ x = c $。将其代入双曲线方程：
$$
\frac{c^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
解出 $ y $：
$$
\frac{y^2}{b^2} = \frac{c^2}{a^2} - 1 = \frac{c^2 - a^2}{a^2}
$$
又因为 $ c^2 = a^2 + b^2 $，所以：
$$
\frac{y^2}{b^2} = \frac{(a^2 + b^2) - a^2}{a^2} = \frac{b^2}{a^2}
$$
$$
y^2 = \frac{b^4}{a^2} \Rightarrow y = \pm \frac{b^2}{a}
$$
因此，通径的两个端点为 $ (c, \frac{b^2}{a}) $ 和 $ (c, -\frac{b^2}{a}) $，通径长为：
$$
\text{通径长} = 2 \times \frac{b^2}{a} = \frac{2b^2}{a}
$$
2. 纵轴双曲线（实轴在y轴上）
设双曲线方程为：
$$
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1
$$
焦点在 $ (0, \pm c) $，其中 $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $
通径是一条垂直于y轴、过焦点 $ (0, c) $ 的直线，即 $ y = c $。将其代入双曲线方程：
$$
\frac{c^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1
$$
解出 $ x $：
$$
\frac{x^2}{b^2} = \frac{c^2}{a^2} - 1 = \frac{c^2 - a^2}{a^2}
$$
同样，$ c^2 = a^2 + b^2 $，所以：
$$
\frac{x^2}{b^2} = \frac{b^2}{a^2} \Rightarrow x^2 = \frac{b^4}{a^2} \Rightarrow x = \pm \frac{b^2}{a}
$$
通径的两个端点为 $ (\frac{b^2}{a}, c) $ 和 $ (-\frac{b^2}{a}, c) $，通径长为：
$$
\text{通径长} = 2 \times \frac{b^2}{a} = \frac{2b^2}{a}
$$
四、总结与对比
| 双曲线类型 | 标准方程 | 焦点位置 | 通径长公式 |
| 横轴双曲线 | $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ | $(\pm c, 0)$ | $\frac{2b^2}{a}$ |
| 纵轴双曲线 | $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ | $(0, \pm c)$ | $\frac{2b^2}{a}$ |
五、结论
无论是横轴双曲线还是纵轴双曲线，其通径长的计算公式均为：
$$
\text{通径长} = \frac{2b^2}{a}
$$
这一公式不仅适用于标准双曲线，也可用于分析其他类型的双曲线问题，具有较强的通用性和实用性。理解通径长的推导过程有助于加深对双曲线几何性质的认识，也为进一步学习圆锥曲线提供了坚实的基础。
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