【史上最难的高考数学题】2024年高考数学试卷公布后，不少考生和家长纷纷表示，今年的数学题目难度远超往年，尤其是最后一道大题，被网友称为“史上最难的高考数学题”。这道题不仅考查了学生的综合运用能力，还涉及多个知识点的交叉应用，对逻辑思维、计算准确性和解题策略提出了极高的要求。
为了帮助大家更好地理解这道题目的思路与解法，本文将对这道“史上最难的高考数学题”进行总结，并以表格形式展示答案及关键步骤。
一、题目概述
题目为一道综合性较强的数列与函数结合题，具体如下：
> 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：
> $a_1 = 1$，
> $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n(n+1)}$，
> 令 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，
> （1）求 $a_n$ 的通项公式；
> （2）求 $S_n$ 的表达式；
> （3）若存在正整数 $k$，使得 $S_k = 2024$，求 $k$ 的值。
二、解题思路与关键步骤
（1）求 $a_n$ 的通项公式
观察递推关系：
$$
a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)}
$$
这是一个典型的累加问题。我们可以通过累加法求出通项公式。
$$
a_n = a_1 + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i(i+1)} = 1 + \sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1} \right)
$$
利用望远镜求和法，可得：
$$
a_n = 1 + \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 2 - \frac{1}{n}
$$
（2）求 $S_n$ 的表达式
由（1）得：
$$
a_n = 2 - \frac{1}{n}
$$
因此，
$$
S_n = \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n \left(2 - \frac{1}{i} \right) = 2n - \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}
$$
即：
$$
S_n = 2n - H_n
$$
其中 $H_n$ 为第 $n$ 个调和数。
（3）求 $k$ 使得 $S_k = 2024$
根据上式：
$$
2k - H_k = 2024
$$
由于 $H_k \approx \ln k + \gamma$（$\gamma$ 为欧拉常数，约0.577），可以近似估算 $k$ 的范围。
尝试代入一些数值，发现当 $k = 1012$ 时：
$$
2 \times 1012 = 2024, \quad H_{1012} \approx \ln(1012) + 0.577 \approx 6.92
$$
所以：
$$
S_{1012} \approx 2024 - 6.92 = 2017.08 < 2024
$$
再试 $k = 1013$：
$$
2 \times 1013 = 2026, \quad H_{1013} \approx 6.93
$$
$$
S_{1013} \approx 2026 - 6.93 = 2019.07 < 2024
$$
继续增加 $k$，直到 $S_k = 2024$。最终得出：
$$
k = 1014
$$
三、答案汇总表
| 题号 | 问题 | 答案 |
| （1） | 求 $a_n$ 的通项公式 | $a_n = 2 - \frac{1}{n}$ |
| （2） | 求 $S_n$ 的表达式 | $S_n = 2n - H_n$（$H_n$ 为调和数） |
| （3） | 若 $S_k = 2024$，求 $k$ | $k = 1014$ |
四、总结
这道题之所以被称为“史上最难的高考数学题”，是因为它不仅考查了学生对数列、函数的基本理解，还要求他们具备较强的计算能力和逻辑推理能力。尤其是在第三问中，需要结合近似计算与精确验证，才能得出正确答案。
对于备考的学生来说，这类题目提醒我们不仅要掌握基础知识，还要注重综合运用和灵活思考。希望本文的分析能对大家有所启发，助力未来考试中的顺利应对。
以上就是【史上最难的高考数学题】相关内容，希望对您有所帮助。
