【向量积的运算公式】在向量代数中，向量积（也称为叉积或矢积）是一种重要的运算方式，主要用于三维空间中两个向量之间的乘法。与点积不同，向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原有两个向量所构成的平面，并遵循右手定则。
向量积在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛应用，例如计算力矩、磁场方向等。
一、向量积的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，其结果为一个新的向量，记为 c = (c₁, c₂, c₃)，其中：
$$
\begin{aligned}
c_1 &= a_2b_3 - a_3b_2 \\
c_2 &= a_3b_1 - a_1b_3 \\
c_3 &= a_1b_2 - a_2b_1
\end{aligned}
$$
也可以通过行列式的形式来表示：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
二、向量积的性质
| 性质 | 描述 |
| 1. 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 2. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 3. 数乘结合律 | $k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ |
| 4. 与零向量的关系 | $\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0}$ |
| 5. 与自身相乘 | $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ |
三、向量积的应用场景
| 应用领域 | 说明 |
| 力学 | 计算力矩（$\mathbf{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$） |
| 磁场 | 磁场对运动电荷的作用力（$\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$） |
| 计算机图形学 | 计算法向量，用于光照和阴影计算 |
| 三维几何 | 求解平面方程、判断点是否在平面上等 |
四、向量积与点积的区别
| 特征 | 向量积 | 点积 |
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 运算方式 | 通过行列式或分量计算 | 通过对应分量乘积之和 |
| 方向 | 垂直于两向量所在的平面 | 无方向，仅大小 |
| 几何意义 | 面积的大小 | 投影长度的乘积 |
五、向量积的计算示例
假设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) - \mathbf{j}(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)
$$
$$
= \mathbf{i}(12 - 15) - \mathbf{j}(6 - 12) + \mathbf{k}(5 - 8) = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
$$
因此，a × b = (-3, 6, -3)
六、总结
向量积是向量代数中的重要工具，能够生成一个与原向量垂直的新向量，广泛应用于物理和工程问题中。通过掌握其运算公式和基本性质，可以更有效地解决实际问题。同时，了解向量积与点积的区别，有助于在不同场景下选择合适的运算方式。
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