高等数学中的积分是数学分析的重要组成部分，它不仅在理论研究中占据核心地位，还在工程、物理、经济等多个领域有着广泛的应用。为了帮助大家更好地掌握积分的基本知识与技巧，本文将系统地整理一些常用的积分公式，并结合实例进行解析。
一、基本积分公式
1. 幂函数积分公式
\[
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
\]
例如：\(\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C\)。
2. 指数函数积分公式
\[
\int e^x dx = e^x + C
\]
\[
\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \quad (a > 0, a \neq 1)
\]
3. 对数函数积分公式
\[
\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C
\]
二、三角函数积分公式
1. 正弦函数积分
\[
\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C
\]
2. 余弦函数积分
\[
\int \cos(x) dx = \sin(x) + C
\]
3. 正切函数积分
\[
\int \tan(x) dx = -\ln|\cos(x)| + C
\]
4. 余切函数积分
\[
\int \cot(x) dx = \ln|\sin(x)| + C
\]
三、特殊积分公式
1. 反三角函数积分
\[
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C
\]
\[
\int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arccos(x) + C
\]
2. 双曲函数积分
\[
\int \cosh(x) dx = \sinh(x) + C
\]
\[
\int \sinh(x) dx = \cosh(x) + C
\]
四、分部积分法
分部积分法是一种重要的积分技巧，其公式为：
\[
\int u dv = uv - \int v du
\]
例如：计算 \(\int x e^x dx\)，设 \(u = x, dv = e^x dx\)，则 \(du = dx, v = e^x\)，代入公式得：
\[
\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C
\]
五、换元积分法
换元积分法通过变量替换简化积分表达式，常用形式如下：
\[
\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du \quad (u = g(x))
\]
例如：计算 \(\int \sqrt{1+x^2} \cdot 2x dx\)，令 \(u = 1+x^2\)，则 \(du = 2x dx\)，原式变为：
\[
\int \sqrt{u} du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2} + C
\]
六、总结
以上是高等数学中常见的积分公式及其应用方法。熟练掌握这些公式和技巧，不仅能提高解题效率，还能为后续学习打下坚实的基础。希望本篇整理能为大家的学习提供一定的帮助！
（注：本文内容基于高等数学基础，适用于大学本科阶段的学习与复习。）
