在数学和物理学中，向量叉乘（也称为向量积）是一种二元运算，它作用于两个三维向量并返回另一个三维向量。这个操作在几何学中有重要的应用，尤其是在描述旋转和平行四边形面积时。

定义

给定两个三维向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，它们的叉乘 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) 可以通过以下公式计算：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

\]

其中，\( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) 是单位向量，分别指向 x, y, z 轴方向。

展开行列式后，结果为：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\left( a_2b_3 - a_3b_2 \right) \mathbf{i}

- \left( a_1b_3 - a_3b_1 \right) \mathbf{j}

+ \left( a_1b_2 - a_2b_1 \right) \mathbf{k}

\]

性质

1. 反交换律：\( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) \)

2. 与自身叉乘为零：\( \mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} \)

3. 与标量乘法结合：\( (c\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = c(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \)，其中 \( c \) 是标量。

4. 模长：\( |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta \)，其中 \( \theta \) 是 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \) 之间的夹角。

应用

1. 确定垂直方向：叉乘的结果向量垂直于原始两个向量所在的平面。

2. 计算平行四边形面积：平行四边形的面积等于两向量叉乘模长的一半。

3. 物理应用：在电磁学中，洛伦兹力的计算就涉及到叉乘。

通过理解这些基本概念和性质，我们可以更好地利用向量叉乘解决实际问题。无论是工程设计还是科学研究，向量叉乘都是一项不可或缺的工具。