在大学数学课程中，线性代数是一个重要的分支，它不仅在理论研究中占据核心地位，还在工程、物理、计算机科学等多个领域有着广泛的应用。其中，向量组的线性相关性是线性代数中的一个基础且关键的概念。本文将以“线性代数向量组的线性相关性习题课”为主题，通过具体例子和详细解析帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

什么是向量组的线性相关性？

向量组的线性相关性是指一组向量之间是否存在某种线性关系。简单来说，如果存在一组不全为零的系数，使得这些向量的线性组合等于零向量，则称该向量组是线性相关的；反之，若只有当所有系数都为零时才能使线性组合等于零向量，则称该向量组是线性无关的。

习题解析

例题1

设向量组 \( \mathbf{a}_1 = (1, 2, 3), \mathbf{a}_2 = (4, 5, 6), \mathbf{a}_3 = (7, 8, 9) \)，判断该向量组是否线性相关。

解析

我们需要找到是否存在不全为零的系数 \( x_1, x_2, x_3 \)，使得：

\[

x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + x_3 \mathbf{a}_3 = \mathbf{0}

\]

即：

\[

x_1(1, 2, 3) + x_2(4, 5, 6) + x_3(7, 8, 9) = (0, 0, 0)

\]

这可以转化为求解一个齐次线性方程组：

\[

\begin{cases}

x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 0 \\

2x_1 + 5x_2 + 8x_3 = 0 \\

3x_1 + 6x_2 + 9x_3 = 0

\end{cases}

\]

通过高斯消元法或行列式计算，我们可以发现该方程组有非零解（例如 \( x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = -1 \)），因此该向量组是线性相关的。

例题2

设向量组 \( \mathbf{b}_1 = (1, 0, 0), \mathbf{b}_2 = (0, 1, 0), \mathbf{b}_3 = (0, 0, 1) \)，判断该向量组是否线性相关。

解析

同样地，我们需要检查是否存在不全为零的系数 \( y_1, y_2, y_3 \)，使得：

\[

y_1 \mathbf{b}_1 + y_2 \mathbf{b}_2 + y_3 \mathbf{b}_3 = \mathbf{0}

\]

即：

\[

y_1(1, 0, 0) + y_2(0, 1, 0) + y_3(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

\]

显然，只有当 \( y_1 = y_2 = y_3 = 0 \) 时，等式才成立。因此，该向量组是线性无关的。

总结

通过以上两个例子，我们可以看到，判断向量组的线性相关性需要结合具体的数学工具，如齐次线性方程组的求解或行列式的计算。掌握这些方法对于解决更复杂的线性代数问题至关重要。

希望本次习题课能够帮助大家加深对向量组线性相关性的理解，并在实际应用中灵活运用这一概念。如果有任何疑问，欢迎随时提问！