【历年希望杯初一竞赛试题精选及答案】“希望杯”全国数学邀请赛作为一项面向初中生的数学竞赛，旨在激发学生学习数学的兴趣，培养逻辑思维能力和解题技巧。对于初一学生而言，参加“希望杯”不仅是一次挑战，更是一次提升自身数学素养的机会。为了帮助更多学生更好地备考，本文整理了近年来“希望杯”初一竞赛中的部分经典试题，并附上详细解析，供广大师生参考。
一、试题精选
题目1：
若 $ a = 2^3 \times 3^2 $，则 $ a $ 的所有正因数的个数为多少？
解析：
首先，将 $ a $ 分解质因数：
$ a = 2^3 \times 3^2 $
根据因数个数公式，若一个数的质因数分解形式为 $ p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_n^{e_n} $，则其正因数的个数为：
$$
(e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_n + 1)
$$
因此，本题中因数个数为：
$$
(3 + 1)(2 + 1) = 4 \times 3 = 12
$$
答案： 12
题目2：
一个三位数，它的百位数字是 5，十位数字比个位数字大 2，且这个数能被 3 整除。求这样的三位数共有多少个？
解析：
设个位数字为 $ x $，则十位数字为 $ x + 2 $，百位数字为 5。
因此，这个三位数为：
$$
100 \times 5 + 10 \times (x + 2) + x = 500 + 10x + 20 + x = 520 + 11x
$$
由于 $ x $ 是个位数字，所以 $ x $ 的取值范围是 $ 0 \leq x \leq 9 $，同时十位数字 $ x + 2 \leq 9 $，即 $ x \leq 7 $。
所以 $ x $ 的可能取值为 $ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 $，共 8 种情况。
接下来判断哪些数能被 3 整除。
一个数能被 3 整除的条件是：各位数字之和能被 3 整除。
该数的各位数字之和为：
$$
5 + (x + 2) + x = 5 + x + 2 + x = 7 + 2x
$$
令 $ 7 + 2x $ 能被 3 整除：
- 当 $ x = 0 $: $ 7 + 0 = 7 $ → 不行
- $ x = 1 $: $ 7 + 2 = 9 $ → 可
- $ x = 2 $: $ 7 + 4 = 11 $ → 不行
- $ x = 3 $: $ 7 + 6 = 13 $ → 不行
- $ x = 4 $: $ 7 + 8 = 15 $ → 可
- $ x = 5 $: $ 7 + 10 = 17 $ → 不行
- $ x = 6 $: $ 7 + 12 = 19 $ → 不行
- $ x = 7 $: $ 7 + 14 = 21 $ → 可
符合条件的 $ x $ 有：1、4、7，共 3 个。
答案： 3 个
题目3：
已知 $ a + b = 10 $，$ ab = 21 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的值。
解析：
利用公式：
$$
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
$$
代入数据：
$$
a^2 + b^2 = 10^2 - 2 \times 21 = 100 - 42 = 58
$$
答案： 58
二、总结与建议
通过以上几道题目可以看出，“希望杯”初一竞赛注重基础知识的灵活运用，同时也强调逻辑推理能力。学生在备考时应注重以下几点：
1. 掌握基本概念：如因数、倍数、奇偶性、数的整除等；
2. 熟练使用公式：如平方差、完全平方公式、因数个数计算等；
3. 提高解题速度与准确率：通过大量练习，熟悉常见题型；
4. 培养良好的审题习惯：仔细阅读题目，避免因理解偏差而失分。
三、结语
“希望杯”不仅是对学生数学能力的一次检验，更是激发学习兴趣、拓展思维的重要平台。希望通过本文的试题解析，能够帮助同学们更好地理解竞赛题目的思路与方法，为未来的数学学习打下坚实的基础。
