【追及应用题及答案】在数学学习中,追及问题是一种常见的应用题类型,主要考察学生对速度、时间与距离之间关系的理解和运用能力。这类题目通常涉及两个或多个物体在同一方向上运动,其中一个物体追赶另一个物体,最终达到相遇的条件。掌握追及问题的解题思路,不仅有助于提高数学成绩,还能增强逻辑思维和实际问题的解决能力。
一、追及问题的基本概念
追及问题的核心在于“相对速度”的理解。当两个物体以不同的速度沿同一方向移动时,如果它们之间的初始距离为一定值,那么较快的物体将会逐渐缩短与较慢物体之间的距离,直至两者相遇。这种现象称为“追及”。
关键公式:
- 追及时间 = 初始距离 ÷ (快者速度 - 慢者速度)
- 追及距离 = 快者速度 × 追及时间
二、常见题型与解题方法
题型1:直线上的追及问题
例题:
甲从A地出发,以每小时5公里的速度向B地前进;乙从A地出发,3小时后以每小时8公里的速度追赶甲。问乙需要多长时间才能追上甲?
解答:
甲先出发3小时,已行走了 $ 5 \times 3 = 15 $ 公里。
设乙追上甲所需时间为 $ t $ 小时,则:
- 甲在这段时间内行驶的距离为 $ 5(t + 3) $
- 乙行驶的距离为 $ 8t $
当乙追上甲时,两者行驶的总距离相等:
$$
8t = 5(t + 3)
$$
解得:
$$
8t = 5t + 15 \Rightarrow 3t = 15 \Rightarrow t = 5 \text{ 小时}
$$
答案: 乙需要5小时才能追上甲。
题型2:环形跑道上的追及问题
例题:
小明和小红在400米的环形跑道上跑步,小明的速度是每分钟6米,小红的速度是每分钟4米。若两人同时同地出发,小明跑得更快,问小明第一次追上小红需要多少时间?
解答:
由于是环形跑道,小明比小红每圈多跑 $ 400 $ 米。但这里的问题是小明第一次追上小红,即小明比小红多跑一圈的距离。
两人的速度差为 $ 6 - 4 = 2 $ 米/分钟。
因此,追及时间为:
$$
\frac{400}{2} = 200 \text{ 分钟}
$$
答案: 小明需要200分钟才能第一次追上小红。
三、解题技巧与注意事项
1. 明确起点和方向:追及问题必须清楚各物体的起始位置和运动方向。
2. 正确计算相对速度:这是解决追及问题的关键。
3. 注意单位统一:如速度单位为“千米/小时”,则时间应换算成小时。
4. 考虑是否为环形路径:环形问题要考虑“多圈”追及的情况。
四、总结
追及问题虽然看似简单,但其中蕴含着丰富的物理和数学知识。通过不断练习,可以提升分析能力和解题效率。希望本文能够帮助你更好地理解和掌握追及问题的解题思路,为今后的学习打下坚实的基础。