【第3课时反比例的意义(20页)】在数学的学习过程中，函数关系是一个非常重要的概念。我们在前几节课中已经初步了解了正比例关系，今天我们将进一步学习另一种重要的函数关系——反比例关系。通过本节课的学习，同学们将能够理解什么是反比例，掌握其基本特征，并能运用反比例的知识解决实际问题。

一、什么是反比例？

反比例是指两个变量之间的关系，其中一个变量随着另一个变量的增大而减小，且它们的乘积始终保持不变。换句话说，如果两个变量x和y满足以下关系：

$$

x \times y = k

$$

其中k是一个常数（k ≠ 0），那么我们就说x和y之间是反比例关系。这里的k称为比例常数。

例如：假设一个长方形的面积固定为12平方厘米，那么它的长和宽之间就存在反比例关系。因为当长增加时，宽必须减少，以保持面积不变。

二、反比例的图像特征

与正比例函数的图像是直线不同，反比例函数的图像是双曲线。当x取正值时，y也取正值；当x取负值时，y也取负值。反比例函数的图象通常位于第一、第三象限，或者第二、第四象限，具体取决于k的符号。

例如，函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图像是双曲线，它不会与坐标轴相交，但会无限接近于坐标轴。

三、反比例的实际应用

反比例关系在生活中随处可见，比如：

- 速度与时间的关系：在路程一定的情况下，速度越快，所需时间越少，两者成反比例。

- 工作人数与完成时间的关系：在任务量一定的前提下，人数越多，所需时间越少，这也是反比例关系。

- 压力与体积的关系（气体定律）：在温度不变的情况下，气体的压强与体积成反比。

这些例子说明，反比例不仅是数学概念，也是我们认识世界的重要工具。

四、如何判断两个变量是否成反比例？

要判断两个变量是否成反比例，可以按照以下步骤进行：

1. 观察两个变量的变化趋势，看是否一个增大另一个减小；

2. 计算它们的乘积，看是否为定值；

3. 如果乘积恒为定值，则这两个变量成反比例关系。

五、课堂练习

为了巩固本节课的内容，我们可以做一些简单的练习题：

1. 判断下列各组变量是否成反比例关系：

- 路程一定，速度和时间；

- 面积一定，长和宽；

- 某种商品的单价一定，购买数量和总价；

- 煤的总重量一定，用去的煤和剩下的煤。

2. 写出下列反比例关系的表达式：

- 当x=3时，y=4，写出y关于x的表达式；

- 若xy=15，写出y关于x的函数表达式。

3. 解决实际问题：

- 一个水池有200立方米的水，如果每小时排水量为x立方米，那么排水时间t与x之间的关系是什么？并说明它们是否成反比例。

六、总结

通过本节课的学习，我们了解到反比例是一种重要的函数关系，它描述了两个变量之间“此消彼长”的变化规律。掌握反比例的概念和应用，有助于我们更好地理解和分析现实中的各种现象。

希望同学们在今后的学习中，能够灵活运用反比例的知识，提高自己解决问题的能力。下一节课我们将继续探讨函数的其他类型，敬请期待！