【空间向量坐标的叉乘运算法则】在三维几何中，向量的叉乘（又称向量积）是一种重要的运算方式，常用于计算两个向量所确定的平面的法向量、面积、旋转方向等。本文将总结空间向量坐标下的叉乘运算法则，并通过表格形式清晰展示其计算过程与结果。

一、叉乘的基本概念

设两个向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘记为 a × b，其结果是一个新的向量，该向量垂直于原两向量所在的平面，且方向由右手定则决定。

叉乘的结果向量 c = a × b 的模长等于这两个向量构成的平行四边形的面积，即：

$$

$$

其中 θ 是两向量之间的夹角。

二、叉乘的运算法则

叉乘遵循以下基本规则：

1. 反交换律：

$$

a × b = - (b × a)

$$

2. 分配律：

$$

a × (b + c) = a × b + a × c

$$

3. 数乘结合律：

$$

k(a × b) = (ka) × b = a × (kb)

$$

4. 零向量性质：

$$

a × a = 0

$$

三、叉乘的坐标计算公式

若已知两个向量的坐标分别为：

- a = (a₁, a₂, a₃)

- b = (b₁, b₂, b₃)

则它们的叉乘 c = a × b 的坐标为：

$$

c = \begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

即：

$$

c = (a_2b_3 - a_3b_2, \quad a_3b_1 - a_1b_3, \quad a_1b_2 - a_2b_1)

$$

四、叉乘计算示例

下面以具体数值为例，说明如何计算叉乘：

根据公式计算：

$$

c_x = a_2b_3 - a_3b_2 = 2×6 - 3×5 = 12 - 15 = -3 \\

c_y = a_3b_1 - a_1b_3 = 3×4 - 1×6 = 12 - 6 = 6 \\

c_z = a_1b_2 - a_2b_1 = 1×5 - 2×4 = 5 - 8 = -3

$$

因此，c = (-3, 6, -3)

五、叉乘的几何意义

1. 方向：由右手定则判断，拇指指向 a，食指指向 b，中指方向即为 c 的方向。

2. 模长：表示由 a 和 b 构成的平行四边形的面积。

3. 正交性：c 与 a 和 b 都垂直。

六、叉乘运算表

七、总结

空间向量的叉乘运算是三维几何中的基础内容，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。掌握其计算方法和几何意义，有助于更深入地理解向量间的相互关系。通过表格形式可以直观地了解叉乘的公式、性质及应用，便于记忆和使用。

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