【期望值计算公式举例】在概率统计中，期望值是一个重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中平均结果的数学期望。它可以帮助我们在不确定的情况下做出更合理的决策。本文将通过几个实际例子，展示如何计算期望值，并以表格形式进行总结。
一、期望值的基本概念
期望值（Expected Value）是随机变量所有可能取值与其对应概率乘积之和。其基本公式如下：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中：
- $ E(X) $ 是随机变量 X 的期望值；
- $ x_i $ 是第 i 个可能的取值；
- $ P(x_i) $ 是该取值出现的概率。
二、期望值计算实例
实例 1：掷骰子游戏
假设你参与一个掷骰子的游戏，每次掷出的点数为 $ x $，对应的奖励为 $ x $ 元。求该游戏的期望收益。
| 点数 $ x $ | 概率 $ P(x) $ | $ x \times P(x) $ |
| 1 | 1/6 | 1/6 |
| 2 | 1/6 | 2/6 |
| 3 | 1/6 | 3/6 |
| 4 | 1/6 | 4/6 |
| 5 | 1/6 | 5/6 |
| 6 | 1/6 | 6/6 |
计算：
$$
E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5
$$
结论： 每次掷骰子的期望收益为 3.5 元。
实例 2：抽奖活动
某商场举办抽奖活动，奖品有以下几种：
- 一等奖：价值 1000 元，概率 0.01
- 二等奖：价值 200 元，概率 0.05
- 三等奖：价值 50 元，概率 0.1
- 无奖：概率 0.84
求该抽奖活动的期望奖金。
| 奖项 | 奖金 $ x $ | 概率 $ P(x) $ | $ x \times P(x) $ |
| 一等奖 | 1000 | 0.01 | 10 |
| 二等奖 | 200 | 0.05 | 10 |
| 三等奖 | 50 | 0.1 | 5 |
| 无奖 | 0 | 0.84 | 0 |
计算：
$$
E(X) = 10 + 10 + 5 + 0 = 25
$$
结论： 每次抽奖的期望奖金为 25 元。
实例 3：股票投资回报
某投资者考虑投资一只股票，根据市场分析，未来一年内可能的收益率如下：
- 高增长：20%，概率 0.3
- 中增长：10%，概率 0.5
- 负增长：-5%，概率 0.2
求该股票的期望收益率。
| 收益率 $ x $ | 概率 $ P(x) $ | $ x \times P(x) $ |
| 20% | 0.3 | 6% |
| 10% | 0.5 | 5% |
| -5% | 0.2 | -1% |
计算：
$$
E(X) = 6\% + 5\% - 1\% = 10\%
$$
结论： 该股票的期望年收益率为 10%。
三、总结表格
| 实例名称 | 变量取值及概率 | 计算公式 | 期望值 |
| 掷骰子游戏 | 1~6，各1/6 | $\sum x_i \cdot P(x_i)$ | 3.5 元 |
| 抽奖活动 | 1000, 200, 50, 0 | $\sum x_i \cdot P(x_i)$ | 25 元 |
| 股票投资回报 | 20%, 10%, -5% | $\sum x_i \cdot P(x_i)$ | 10% |
通过以上实例可以看出，期望值是一种衡量不确定性事件平均结果的有效工具。在金融、保险、博弈论等多个领域都有广泛应用。理解并掌握期望值的计算方法，有助于我们更好地评估风险与收益。
