【x检验的计算公式】在统计学中，x²检验（卡方检验）是一种常用的假设检验方法，用于判断实际观测值与理论期望值之间的差异是否具有统计学意义。它常用于分类数据的分析，如列联表、独立性检验或拟合优度检验等。
为了更好地理解x²检验的计算过程，以下是对该检验公式的总结，并通过表格形式展示关键步骤和内容。
一、x²检验的基本原理
x²检验的核心思想是：通过比较观察频数（O）与期望频数（E）之间的差异，计算出一个x²统计量，再根据x²分布表判断该差异是否显著。
公式如下：
$$
\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}
$$
其中：
- $ O $ 表示实际观察到的频数；
- $ E $ 表示在原假设下预期的频数；
- $ \sum $ 表示对所有单元格进行求和。
二、x²检验的计算步骤
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 收集并整理数据，形成列联表或频数表 |
| 2 | 计算每个单元格的期望频数 $ E = \frac{行合计 \times 列合计}{总样本数} $ |
| 3 | 计算每个单元格的 $ (O - E)^2 / E $ 值 |
| 4 | 将所有单元格的 $ (O - E)^2 / E $ 相加，得到 x² 统计量 |
| 5 | 根据自由度（df）查找 x² 分布表，确定临界值或 p 值 |
| 6 | 根据结果判断是否拒绝原假设 |
三、示例说明（以独立性检验为例）
假设我们有如下列联表：
| 类别A | 类别B | 合计 | |
| 男性 | 30 | 20 | 50 |
| 女性 | 25 | 25 | 50 |
| 合计 | 55 | 45 | 100 |
计算每个单元格的期望频数：
- 男性+类别A: $ \frac{50 \times 55}{100} = 27.5 $
- 男性+类别B: $ \frac{50 \times 45}{100} = 22.5 $
- 女性+类别A: $ \frac{50 \times 55}{100} = 27.5 $
- 女性+类别B: $ \frac{50 \times 45}{100} = 22.5 $
然后计算每个单元格的 $ (O - E)^2 / E $：
| 单元格 | O | E | $ (O - E)^2 / E $ |
| 男性+类别A | 30 | 27.5 | $ (2.5)^2 / 27.5 ≈ 0.227 $ |
| 男性+类别B | 20 | 22.5 | $ (-2.5)^2 / 22.5 ≈ 0.278 $ |
| 女性+类别A | 25 | 27.5 | $ (-2.5)^2 / 27.5 ≈ 0.227 $ |
| 女性+类别B | 25 | 22.5 | $ (2.5)^2 / 22.5 ≈ 0.278 $ |
将这些值相加：
$$
\chi^2 = 0.227 + 0.278 + 0.227 + 0.278 = 1.01
$$
查 x² 分布表，自由度为 $ (2-1)(2-1) = 1 $，若显著性水平为 0.05，则临界值为 3.841。由于 1.01 < 3.841，因此不能拒绝原假设，即性别与类别之间无显著关联。
四、总结
x²检验是一种基于频数差异的非参数检验方法，适用于分类变量的数据分析。其核心公式为：
$$
\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}
$$
通过计算观察频数与期望频数的差异平方除以期望频数，最终得到一个x²统计量，并与临界值对比，从而判断数据是否符合原假设。
如需进一步了解不同类型的x²检验（如拟合优度检验、独立性检验、同质性检验等），可参考相关统计学教材或工具书。
