【超几何分布的数学期望和方差怎么算】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在不放回抽样情况下，从有限总体中抽取若干样本时成功事件发生的次数。它与二项分布不同，因为超几何分布考虑的是无放回抽样，因此每次抽样的结果会影响后续的概率。
本文将总结超几何分布的数学期望和方差的计算方法，并通过表格形式清晰展示其公式与含义。
一、超几何分布的基本定义
设一个总体中有 $ N $ 个元素，其中 $ K $ 个是“成功”元素，$ N-K $ 个是“失败”元素。从中随机抽取 $ n $ 个元素（不放回），设 $ X $ 表示这 $ n $ 个元素中“成功”元素的数量，则 $ X $ 服从参数为 $ (N, K, n) $ 的超几何分布，记作：
$$
X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n)
$$
二、数学期望与方差的计算公式
1. 数学期望（Expected Value）
超几何分布的数学期望表示在 $ n $ 次不放回抽样中，“成功”元素的平均出现次数。其计算公式为：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
其中：
- $ n $：抽取的样本数；
- $ K $：总体中“成功”元素的数量；
- $ N $：总体的总数量。
2. 方差（Variance）
超几何分布的方差反映了“成功”元素数量的波动程度。其计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
其中：
- $ \frac{N - n}{N - 1} $ 是有限总体校正因子（Finite Population Correction Factor）；
- 当 $ N $ 很大时，该因子接近于 1，此时超几何分布近似于二项分布。
三、总结表格
| 项目 | 公式 | 含义说明 |
| 数学期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 抽取 $ n $ 个样本时，“成功”元素的平均数量 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 反映“成功”元素数量的波动情况，包含有限总体校正因子 |
四、实际应用举例
假设有一个装有 50 个球的盒子，其中有 10 个红球（成功事件），其余 40 个是蓝球。从中随机抽取 5 个球，不放回。求红球数量的期望与方差。
- $ N = 50 $, $ K = 10 $, $ n = 5 $
数学期望：
$$
E(X) = 5 \cdot \frac{10}{50} = 1
$$
方差：
$$
\text{Var}(X) = 5 \cdot \frac{10}{50} \cdot \left(1 - \frac{10}{50}\right) \cdot \frac{50 - 5}{50 - 1} = 5 \cdot 0.2 \cdot 0.8 \cdot \frac{45}{49} \approx 0.735
$$
五、结语
超几何分布广泛应用于质量控制、抽样调查等领域，特别是在处理小样本、无放回抽样的情况下。理解其数学期望和方差的计算方式，有助于更准确地进行统计推断和数据分析。
