【大一高数期末考试重点公式】在大学一年级的高等数学课程中，期末考试是检验学生对基础知识掌握程度的重要方式。为了帮助同学们更好地复习和准备考试，以下整理了大一高数（微积分）期末考试中常见的重点公式，内容以加表格的形式呈现，便于记忆与查阅。
一、函数与极限
1. 常见函数类型：
- 多项式函数
- 指数函数：$ a^x $
- 对数函数：$ \log_a x $
- 三角函数：$ \sin x, \cos x, \tan x $
2. 极限基本性质：
- $ \lim_{x \to a} c = c $（c为常数）
- $ \lim_{x \to a} x^n = a^n $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 $
3. 无穷小与无穷大的比较：
- 若 $ \alpha \to 0 $，$ \beta \to 0 $，且 $ \lim_{x \to a} \frac{\alpha}{\beta} = 0 $，则称 $ \alpha $ 是比 $ \beta $ 高阶的无穷小。
- 若 $ \alpha \to \infty $，$ \beta \to \infty $，且 $ \lim_{x \to a} \frac{\alpha}{\beta} = \infty $，则称 $ \alpha $ 是比 $ \beta $ 高阶的无穷大。
二、导数与微分
1. 基本求导公式：
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
2. 导数运算法则：
- 加减法：$ (u \pm v)' = u' \pm v' $
- 乘法法则：$ (uv)' = u'v + uv' $
- 商法则：$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
- 链式法则：$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
3. 高阶导数：
- 二阶导数：$ f''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x)) $
- 三阶导数：$ f'''(x) = \frac{d}{dx}(f''(x)) $
三、不定积分与定积分
1. 基本积分公式：
| 被积函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \frac{1}{1+x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
2. 积分方法：
- 换元积分法：$ \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du $
- 分部积分法：$ \int u dv = uv - \int v du $
3. 定积分性质：
- $ \int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx $
- $ \int_a^a f(x) dx = 0 $
- $ \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx $
四、微分中值定理与泰勒展开
1. 微分中值定理：
- 罗尔定理：若 $ f(a) = f(b) $，且 $ f $ 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，则存在 $ c \in (a,b) $ 使得 $ f'(c) = 0 $。
- 拉格朗日中值定理：若 $ f $ 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，则存在 $ c \in (a,b) $ 使得 $ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $。
2. 泰勒展开公式：
- $ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) $
五、常见函数的泰勒展开
| 函数 | 泰勒展开（在 x=0 处） | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $（$ | x | < 1 $） |
六、积分应用
1. 平面图形面积：
- $ A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx $（假设 $ f(x) \ge g(x) $）
2. 旋转体体积：
- 绕 x 轴旋转：$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx $
- 绕 y 轴旋转：$ V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 dy $
3. 弧长公式：
- $ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $
总结：
以上内容涵盖了大一高数期末考试的主要知识点，包括极限、导数、积分、中值定理以及积分应用等。建议同学们结合教材和习题进行系统复习，并通过做题来加深对公式的理解和运用。
| 章节 | 重点公式 |
| 极限 | $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $, $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $ |
| 导数 | $ (x^n)' = nx^{n-1} $, $ (\sin x)' = \cos x $, $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $ |
| 积分 | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, $ \int e^x dx = e^x + C $ |
| 中值定理 | 罗尔定理、拉格朗日中值定理 |
| 泰勒展开 | $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots $, $ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots $ |
希望这份资料能帮助你在期末考试中取得理想的成绩！
