【不等式组练习题及答案】在数学学习中，不等式组是一个重要的知识点，尤其在初中和高中阶段的代数内容中占据重要位置。掌握不等式组的解法不仅有助于提升逻辑思维能力，还能为后续学习函数、方程等内容打下坚实的基础。
以下是一些关于不等式组的练习题及其详细解答，帮助同学们更好地理解和巩固相关知识。
一、基础练习题
1. 解下列不等式组：
$$
\begin{cases}
2x + 3 > 5 \\
x - 4 \leq 1
\end{cases}
$$
解答：
- 第一个不等式：
$$
2x + 3 > 5 \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow x > 1
$$
- 第二个不等式：
$$
x - 4 \leq 1 \Rightarrow x \leq 5
$$
将两个不等式的解集合并，得到：
$$
1 < x \leq 5
$$
答案： $ x \in (1, 5] $
2. 解不等式组：
$$
\begin{cases}
3x - 2 < 7 \\
x + 1 \geq 0
\end{cases}
$$
解答：
- 第一个不等式：
$$
3x - 2 < 7 \Rightarrow 3x < 9 \Rightarrow x < 3
$$
- 第二个不等式：
$$
x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1
$$
合并两个解集：
$$
-1 \leq x < 3
$$
答案： $ x \in [-1, 3) $
3. 解不等式组：
$$
\begin{cases}
x + 5 \geq 2 \\
2x - 1 \leq 3
\end{cases}
$$
解答：
- 第一个不等式：
$$
x + 5 \geq 2 \Rightarrow x \geq -3
$$
- 第二个不等式：
$$
2x - 1 \leq 3 \Rightarrow 2x \leq 4 \Rightarrow x \leq 2
$$
合并解集：
$$
-3 \leq x \leq 2
$$
答案： $ x \in [-3, 2] $
二、进阶练习题
4. 解不等式组：
$$
\begin{cases}
x - 2 > 1 \\
3x + 1 \geq 4
\end{cases}
$$
解答：
- 第一个不等式：
$$
x - 2 > 1 \Rightarrow x > 3
$$
- 第二个不等式：
$$
3x + 1 \geq 4 \Rightarrow 3x \geq 3 \Rightarrow x \geq 1
$$
合并解集：
$$
x > 3
$$
答案： $ x \in (3, +\infty) $
5. 解不等式组：
$$
\begin{cases}
2x + 1 \leq 5 \\
x - 3 < 0
\end{cases}
$$
解答：
- 第一个不等式：
$$
2x + 1 \leq 5 \Rightarrow 2x \leq 4 \Rightarrow x \leq 2
$$
- 第二个不等式：
$$
x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3
$$
合并解集：
$$
x \leq 2
$$
答案： $ x \in (-\infty, 2] $
三、综合应用题
6. 某公司计划生产两种产品A和B，每件A产品需要消耗3小时人工，每件B产品需要2小时人工。公司每天最多提供8小时的人工时间。若A产品的利润为5元/件，B产品的利润为4元/件，问如何安排生产才能使利润最大？
分析与解答：
设生产A产品x件，B产品y件。
根据题意，可列出以下不等式组：
$$
\begin{cases}
3x + 2y \leq 8 \\
x \geq 0 \\
y \geq 0
\end{cases}
$$
目标函数为利润：
$$
P = 5x + 4y
$$
这是一个线性规划问题，需在可行域内寻找最大值。由于题目未要求具体数值解，只需列出约束条件即可。
答案： 约束条件为 $ 3x + 2y \leq 8 $，且 $ x \geq 0 $，$ y \geq 0 $
通过以上练习题的解答，可以看出，不等式组的求解关键在于逐个解出每个不等式，再找出它们的交集或并集。熟练掌握这一方法，能有效提高解题效率和准确率。
希望这些练习题对大家的学习有所帮助！
