【二次函数练习题】在数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点，它不仅在初中阶段占据重要地位，在高中乃至大学的数学课程中也频繁出现。为了帮助同学们更好地掌握这一内容，下面提供一份关于二次函数的练习题，涵盖基础概念、图像分析、解析式求解以及实际应用等方面。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 下列函数中，哪一个是二次函数？
A. $ y = x + 2 $
B. $ y = 3x^2 - 4 $
C. $ y = \frac{1}{x} $
D. $ y = 2^x $
2. 抛物线 $ y = -x^2 + 4x - 3 $ 的顶点坐标是：
A. $ (2, 1) $
B. $ (2, -1) $
C. $ (1, 2) $
D. $ (-2, 1) $
3. 若二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象开口向下，则 $ a $ 的取值范围是：
A. $ a > 0 $
B. $ a < 0 $
C. $ a = 0 $
D. 无法确定
4. 函数 $ y = x^2 - 6x + 8 $ 的最小值为：
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
5. 若抛物线 $ y = x^2 + px + q $ 经过点 $ (1, 2) $ 和 $ (2, 5) $，则 $ p + q $ 的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 抛物线 $ y = 2(x - 3)^2 + 5 $ 的顶点坐标是 ________。
2. 若二次函数 $ y = x^2 - 4x + k $ 与 x 轴只有一个交点，则 k 的值为 ________。
3. 函数 $ y = -x^2 + 2x $ 的对称轴是直线 ________。
4. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的根为 ________。
5. 若二次函数的图象经过点 $ (0, 3) $、$ (1, 2) $ 和 $ (2, 3) $，则其解析式为 ________。
三、解答题（共25分）
1. （8分）已知某二次函数的图象经过点 $ (1, 2) $、$ (2, 5) $ 和 $ (-1, 2) $，求该函数的解析式。
2. （7分）求函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 的顶点坐标，并画出其大致图象。
3. （10分）某商品的销售量 $ y $（单位：件）与售价 $ x $（单位：元）之间的关系满足二次函数 $ y = -2x^2 + 20x + 50 $。
（1）当售价为多少时，销售量最大？
（2）此时的最大销售量是多少？
四、拓展题（选做，不计入总分）
1. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象与 x 轴交于两点 $ A(1, 0) $ 和 $ B(3, 0) $，且顶点在 $ (2, -1) $，求该函数的解析式。
2. 设二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 满足 $ f(1) = 3 $，$ f(-1) = 1 $，$ f(2) = 5 $，求 $ a $、$ b $、$ c $ 的值。
参考答案（供参考）
一、选择题
1. B
2. A
3. B
4. B
5. C
二、填空题
1. $ (3, 5) $
2. 4
3. $ x = 1 $
4. $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
5. $ y = x^2 - 2x + 3 $
三、解答题略（请自行计算）
四、拓展题略（建议结合图像或代入法求解）
通过这些练习题，可以有效巩固对二次函数的理解和应用能力。建议同学们在完成题目后，认真核对答案并进行反思，逐步提升自己的数学思维和解题技巧。
